写在最前面一个小约定嘿小朋友今天我们要一起做一件很酷的事——自己动手推导出一个物理学家用过200年的公式听起来吓人别怕。我保证不用任何高深数学不用任何复杂概念我们就像玩拼图一样一块一块拼出来你只需要准备一颗好奇的心 ❤️大概 20 分钟时间 ⏰一杯水或一杯牛奶待会儿会用到准备好了吗我们出发第一章先来观察一个奇怪的现象让我们做一个小实验请你拿起手边的一杯水。把这杯水放在桌子上然后做两件事第一件事从正上方往下看水面。你看到了什么应该是杯底对吧水是透明的你能看穿它。第二件事把眼睛贴近桌面几乎水平地看水面。你看到了什么咦——水面好像亮亮的开始反光了同一杯水为什么不一样这就奇怪了。水还是那杯水光还是那束光为什么换个角度看就不一样了请你记住这个问题。这就是我们今天要解决的谜题。科学家给这个现象起了个名字叫菲涅尔效应Fresnel Effect。菲涅尔Fresnel是一个法国人的名字。他在 200 年前发现了这个规律并且写出了一个公式来描述它。今天我们要一起把这个公式自己推出来第二章先把光想象成一个小球数学上的菲涅尔方程很复杂涉及光的波的性质。但是我们今天不学那个真正的版本。我们要用一个小学生版本——它叫Schlick 近似公式。这个公式是 1994 年一个叫 Schlick读史立克的科学家想出来的。它比原版简单 100 倍但效果差不多。第一步把光想象成小球请你想象光就是一个个飞行的小球。其实物理学家也争论过光是不是小球最后发现它有点像球又有点像波。但我们今天就当它是球。这些小球从太阳或者灯里飞出来飞向各种东西的表面。第二步小球撞到表面会怎样小球撞到一个表面比如水面、玻璃、桌面会发生两种事要么被弹开这叫反射要么钻进去这叫折射或被吸收第三步关键问题来了什么时候小球容易被弹开什么时候容易钻进去请你想象一下情况 A小球正对着墙撞过去 → 会怎样小球重重地撞在墙上能量都用来撞墙了很难弹开容易陷进去。情况 B小球斜着撞墙 ↘ 会怎样小球蹭一下就过去了比较容易弹开。情况 C小球几乎平行于墙面飞过 → → → 会怎样小球几乎贴着墙飞根本没机会陷进去几乎全部被弹开。第四步发现规律了哎呀你已经发现一个规律了小球撞墙的角度越平越斜越容易被弹开。小球撞墙的角度越正越容易钻进去。光也是一样光线越斜地照到表面反射就越强这就解释了你刚才的实验——正上方看水光从你眼睛垂直反弹回来反射很弱水是透明的水平看水光斜着反弹回来反射很强水像镜子谜底揭开了第三章用数学描述这个规律好啦我们知道了角度越斜反射越强。但是科学家不满足于这种描述他们想要一个精确的公式——告诉我当角度是多少时反射到底是多少我们需要一个刻度尺为了写公式我们需要找一个数字来表示角度有多正、有多斜。你说“那就用角度啊0度、45度、90度。”很聪明但是数学家更喜欢用一个叫cos读扣赛因的东西。它叫余弦。不用怕你不用真的懂 cos 是什么。你只需要记住一件事cos 是一个角度的翻译器它把角度翻译成一个 0 到 1 之间的数字。具体翻译规则角度cos值意思0度正对1“完全正对”60度斜了一些0.5“中等斜”90度完全水平0“完全斜”记住两个最重要的正对着看 → cos 1完全斜着看 → cos 0我们要定义一个东西叫 cosθθ读西塔就是角度的意思是希腊字母数学家很喜欢用希腊字母。cosθ就是我们观察的角度的cos值。正对看东西时cosθ 1斜着看东西时cosθ 接近 0好了工具准备好了第四章开始拼公式第一块拼图现在我们要把刚才的规律变成公式。规律回顾正对看cosθ 1→ 反射很少斜着看cosθ 0→ 反射很多第一次尝试能不能直接用 (1 - cosθ)让我们试试一个简单的公式反射强度 1 - cosθ我们来代入数字检查一下当正对着看时cosθ 1反射强度 1 - 1 0反射是 0意思是完全没反射。当完全斜着看时cosθ 0反射强度 1 - 0 1反射是 1意思是100% 反射。哇看起来很对正对看反射少斜着看反射多——和我们的观察一致但是……还有个小问题我们刚才说正对看的时候反射是 0。但是这不对如果你正对着看水还是会看到一点点反光的——只是很弱。你正对着看玻璃窗也能看到自己淡淡的影子——说明也有一点反光。所以正对看时反射不是 0而是一个很小的值。这个很小的值是多少呢它取决于材料是什么水大概 2%也就是 0.02玻璃大概 4%也就是 0.04钻石大概 17%0.17金属很大比如金子是 100%我们给这个正对看的反射值起个名字叫F₀读F zero。F₀ 正对看时的反射率每种材料都有自己的 F₀就像每个人都有自己的身高。第五章第二次尝试修正公式知道了 F₀我们要修正公式了。我们的新目标正对看cosθ 1→ 反射 F₀不是 0 啦斜着看cosθ 0→ 反射 1100%中间呢平滑过渡。想个办法我们之前的公式是反射强度 1 - cosθ它的范围是 0 到 1。但我们希望的范围是F₀ 到 1。怎么办用一个聪明的小技巧请看这个公式反射强度 F₀ (1 - F₀) × (1 - cosθ)看起来吓人别怕我们一步步来检查。当正对看时cosθ 1反射强度 F₀ (1 - F₀) × (1 - 1) F₀ (1 - F₀) × 0 F₀ 0 F₀ ✅太好了正对看的反射是 F₀正确当完全斜着看时cosθ 0反射强度 F₀ (1 - F₀) × (1 - 0) F₀ (1 - F₀) × 1 F₀ 1 - F₀ 1 ✅太好了完全斜着看的反射是 1100%也正确我们的公式开始有模有样了这个公式在做什么让我来用大白话解释一下反射 起点F₀ 增长部分起点F₀正对看时的最小反射增长部分从 F₀ 一路涨到 1(1 - cosθ)决定了我们走了多少路——正对看时是 0没走完全斜看时是 1走完了是不是很巧妙第六章还差最后一步到这里我们的公式已经差不多对了。但是真实世界里反射的变化不是平滑的直线——它的变化很奇怪从 0 度到 60 度反射变化很慢从 60 度到 90 度反射变化突然变快举个例子以水面为例角度反射率0度正对2%30度2%60度6%80度35%85度60%89度接近 100%你看出规律了吗前面0到60度变化很慢后面80度之后反射率突然飙升我们当前的公式做不到这个——它是直线平滑变化的。怎么让后面增长得快这里我们用一个数学小魔法乘方mì fāng什么是乘方就是一个数自己乘自己几次。比如0.5 的 2 次方 0.5 × 0.5 0.250.5 的 5 次方 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 0.031250.9 的 5 次方 0.9 × 0.9 × 0.9 × 0.9 × 0.9 ≈ 0.59发现什么没一个小于 1 的数乘方之后会变得更小我们来看 (1 - cosθ) 这部分cosθ(1 - cosθ)(1 - cosθ) 的 5 次方1000.90.10.00001非常非常小0.50.50.031很小0.10.90.59开始变大011加了 5 次方之后前面变化超级慢最后突然飙升到 1这正是我们想要的效果最终的公式来了把 5 次方加进去F F₀ (1 - F₀) × (1 - cosθ)⁵这就是大名鼎鼎的—— Schlick 近似公式 F F₀ (1 - F₀) × (1 - cosθ)⁵我们自己推出来了第七章为什么是 5 次方你可能会问“为什么是 5 次方为什么不是 3 次方、7 次方”好问题答案是Schlick 这位科学家做了大量实验把不同次方的结果和真实物理的结果做对比发现5 次方最接近真实情况。3 次方变化太慢不像真的7 次方变化太快也不像真的5 次方刚刚好✨所以这个 5 是经验数字——不是从更深的原理推出来的而是试出来的最佳值。但它工作得非常好所以全世界的游戏引擎、电影特效都在用这个 5。第八章让我们验证一下我们来用我们推出来的公式算一下水面的反射。水的 F₀ 0.02也就是 2%。情况 1正对着水面看cosθ 1F 0.02 (1 - 0.02) × (1 - 1)⁵ 0.02 0.98 × 0 0.02反射率 2%水是透明的。✅情况 260度斜着看cosθ 0.5F 0.02 (1 - 0.02) × (1 - 0.5)⁵ 0.02 0.98 × 0.5⁵ 0.02 0.98 × 0.03125 0.02 0.030625 ≈ 0.05反射率约 5%水开始有点反光了。✅情况 385度几乎水平看cosθ ≈ 0.087F 0.02 0.98 × (1 - 0.087)⁵ 0.02 0.98 × 0.913⁵ 0.02 0.98 × 0.633 ≈ 0.64反射率约 64%水面像镜子✅和真实物理观测结果基本一致我们用一个简单到不能再简单的公式精确预测了水面的反射。第九章回顾我们的旅程让我们回头看看我们是怎么一步步推出这个公式的第一步观察现象同一杯水正对看是透明的斜看是镜子。第二步找规律角度越斜反射越强。第三步用 cosθ 描述角度正对 cosθ 1斜着 cosθ 0。第四步第一个公式反射 1 - cosθ但是正对看时反射不是 0是一个小数 F₀。第五步加入 F₀反射 F₀ (1 - F₀) × (1 - cosθ)但是真实的变化不是直线是前慢后快。第六步加入 5 次方F F₀ (1 - F₀) × (1 - cosθ)⁵完成第十章这个公式有多伟大请你想象一下——全世界所有的现代 3D 游戏每一帧画面都在使用这个公式。你玩《我的世界》的光影包用了它你玩《王者荣耀》用了它你看皮克斯的动画电影《海底总动员》用了它你看《阿凡达》用了它每秒钟这个公式在地球上被计算几万亿次它让虚拟世界的水像真的水让虚拟世界的玻璃像真的玻璃让虚拟世界的金属像真的金属。而你刚刚自己把它推出来了。最后的话亲爱的小朋友——你今天做的事情很多大学生都做不到。你不是记住了一个公式你是理解了它。你看到了科学家是怎么思考的先观察一个现象找到规律用数学描述规律不断修正直到完美这就是科学的本质——不是死记硬背而是像侦探一样一步一步破解世界的秘密。“科学不是天才才能做的事科学是好奇心 一点点的耐心。”✨“你今天能推出这个公式明天就能推出更多公式。”“世界上所有伟大的科学发现开始时都只是一个简单的问题——‘咦这是为什么’”下次你看到湖面、玻璃、镜子——请记得你已经知道了它们的秘密。那些反光不是魔法那些倒影不是巧合它们都遵循一个你刚刚自己推出来的公式。而那位 200 年前的法国物理学家菲涅尔会为你今天的好奇心而骄傲。️恭喜你毕业了